Có hai tính chất đúng với ký hiệu Legendre nhưng không thể mở rộng cho ký hiệu Jacobi.

Thứ nhất, nếu ( a n ) = − 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1} thì a không là thặng dư bậc hai của n vì a không là thặng dư bậc hai của một số thừa số của n. Tuy nhiên, ngược lại khi ( a n ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1} a chưa chắc chắn là thặng dư bậc hai của n. Bởi vì ký hiệu Jacobi là tích của các ký hiệu Legendre, nên có thể có hai ký hiệu Legendre bằng −1 và khi đó ký hiệu Jacobi bằng 1.

Tính chất thứ hai không thể mở rộng gắn với đồng dư thức Euler ( a p ) ≡ a ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}} mod p với số nguyên tố p và số nguyên a bất kỳ. Một cách tự nhiên đồng dư thức Euler mở rộng từ ký hiệu Legendre sang ký hiệu Jacobi là: ( a n ) ≡ a ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)\equiv a^{(n-1)/2}} mod n với hợp số lẻ dương n. Tuy nhiên đồng dư thức này là sai với ít nhất một nửa của các a mod n khi n là hợp số. Tỷ lệ này là cơ sở của thuật toán kiểm tra Solovay-Strassen kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất.